Il rapporto incrementale di una funzione è il rapporto tra la variazione di ordinate e la variazione di ascisse definita a partire da un incremento h, ossia:

Prerequisito: Rapporto Incrementale

E si calcola con:

Derivata di una funzione in un punto

La derivata di una funzione in un punto rappresenta il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione in quel punto.

Come si calcola

Considerando una funzione $f(x)$ definita in un intorno completo di $x_0$, possiamo calcolare la derivata del grafico della funzione nel punto $x_0$ ($f'(x_0)$) come il limite del rapporto incrementale della funzione in $x_0$ con incremento ($h$) tendente a 0.

Se questo limite esiste ed è finito allora si può dire che la funzione è derivabile in $x_0$.

Derivata destra e sinistra

Se invece che "far tendere" il limite ad $h$ utilizziamo $h^+$ oppure $h^-$ allora rispettivamente avremmo calcolato la derivata destra e la derivata sinistra.

Derivata prima di una funzione

Prima abbiamo calcolato la derivata di una funzione in un punto specifico, ma è molto più comodo avere quella funzione che ci permette di calcolare la derivata di qualsiasi punto della funzione, questa funzione viene definita Derivata prima di una funzione.

Si indica con:

Possiamo calcolare poi la derivata seconda, derivata terza, e così via facendo la derivata della derivata precedente.

Esempio: $f''(x) = D [f'(x)]$ corrisponde alla derivata seconda della funzione $f(x)$.

Uso della derivata

Equazione retta tangente al grafico $y = f(x)$, come la trovo?

Come trovo $m$?

Più noi avviciniamo il punto $x_0 + h$ al punto $x_0$ più la retta secante assomiglierà alla tangente.

Se questo limite esiste ed è finito la funzione si dice derivabile nel punto $x_0 \to f'(x_0)$.

Quindi $m$ corrisponde alla derivata nel punto $x_0$

Derivate delle funzioni elementari

Calcolo della derivata

Somma tra funzioni

Sottrazione tra funzioni

Moltiplicazione per costante

Prodotto di funzioni (2 esempi)

Quoziente di due funzioni

È derivabile per tutti i valori di $x$ per cui $g(x) \ne 0$.

Funzione reciproca

Tangente

Derivata delle funzioni composte

Risoluzioni utili

Punti di non derivabilità

Continuità e derivabilità

• $f(x)$ non continua in un punto → non derivabile

• $f(x)$ è continua → non è per forza derivabile

• $f(x)$ è derivabile in $x_0$ → $f$ è continua in $x_0$.

Calcoliamo i due limiti

1. $\lim_{x \to x0^-} f'(x)$

2. $\lim_{x \to x0^+} f'(x)$

Casi possibili

Derivabile

I limiti esistono e sono uguali e finiti →$f(x)$ è derivabile in $x_0$

Punto angoloso

I limiti esistono e sono diversi → $f(x)$ non è derivabile in $x_0$

Flesso a tangente verticale

I limiti sono uguali a $\pm\infin$ → $f(x)$ non è derivabile in $x_0$

Cuspide

Un limite $+\infin$ e l'altro $-\infin$ → non è derivabile in $x_0$

Differenziale di una funzione

Il differenziale corrisponde all'incremento infinitesimale delle ordinate della retta tangente a partire da un punto fissato.

Facendo quindi $\dfrac{dy}{dx}$ ottengo la pendenza della retta tangente di $\alpha$, ovvero $f'(x)$

Note

• Intervallo completo di un punto $x_0$: è un qualsiasi intervallo aperto sia a sinistra che a destra contenente $x_0$. Aperto significa che gli estremi non sono inclusi, esempio: $(2, 5)$ è un intorno completo di $4$.