Matematica

Funzioni

💡

Ogni numero (positivo o negativo) la cui rappresentazione decimale è illimitata e non periodica si dice irrazionale.

L’insieme formato dall’unione dell’ensieme dei numeri razionali e dell’insieme dei numeri irrazionali viene chiamato insieme dei numeri reali e viene indicato con la lettera R.

→ Massimo e minimo di un insieme

💡

Sia A un sottoinsieme non vuoto di R. a. Un numero reale M si dice massimo di A quando sono verificate entrambe le seguenti condizioni:

M appartiene ad A;

M è un maggiorante di A.

b. In maniera analoga, un numero reale m si dice minimo di A quando appartiene ad A ed è un minorante di A.

→ Estremo superiore ed estremo inferiore di un insieme

💡

Sia A un sottoinsieme non vuoto di R. a. Si chiama estremo superiore di A, se esiste, il minimo dell’insieme dei maggioranti di A. b. Si chiama estremo inferiore di A, se esiste, il massimo dell’insieme dei minoranti di A.

→ Funzione

💡

Si chiama funzione f di dominio A e codominio B una relazione che associa a ogni elemento di A uno e un solo elemento di B. (si scrive f: A→ B).

→ Che cos’è il dominio di una funzione

💡

Il dominio di una funzione è l’insieme su cui è definita la funzione, ossia l’insieme di partenza sui cui elementi ha senso valutare la funzione.

Per determinare il dominio basta tenere presente le indicazioni riassunte nella seguente tabella:

Indicazioni per determinare il dominio

Le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazioni sono sempre definite, mentre l’operazione di divisione è definita purchè il divisore non sia nullo

Un radicale di indice pari è definito solo se il radicando è positivo o nullo, mentre un radicale di indice dispari è sempre definito purchè esista il radicando.

Il logaritmo è definito se l’argomento è positivo e la base è positiva e diversa da 1.

L’esponenziale (con base positiva costante) è sempre definito purchè esista l’esponente.

Seno e coseno sono definiti purchè sia definito il loro argomento, mentre la tangente è definita purchè il suo argomento sia diverso da π/2 + kπ.

Arcoseno e arcocoseno sono definiti a condizione che l’argomento sia compreso tra -1 e 1, mentre l’arcotangente è definito purchè sia definito il suo argomento.

→ Che cos’è il codominio di una funzione

💡

Il codominio di una funzione è l’insieme in cui sono contenute le immagini della funzione.

A livello intuitivo il codominio coincide con l’insieme di arrivo, ovvero con l’insieme dei valori che la funzione può assumere.

→ Classificazione delle funzioni

Le funzioni si possono classificare in base al tipo di operazioni che compaiono nell’espressione analitica $f(x)$ .

Se compare soltanto un numero finito di operazioni di addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione, elevamento a potenza a esponente razionale o estrazione di radice si dice che la funzione è algebrica, altrimenti si dice che è trascendente.

Nell’insieme delle funzioni algebriche si distinguono: funzioni intere, nelle quali la variabile indipendente non compare in alcun denominatore, da quelle frazionarie; le funzioni razionali, nelle quali la variabile indipendendente non compare sotto alcun segno di radice, da quelle irrazionali.

→ Qual è il dominio di una funzione razionale intera, di una razionale fratta, etc..

A intuizione lo capisci.

→ Intersezioni di una funzione con gli assi cartesiani

Dopo aver determinato il dominio, la “seconda fase” di uno studio elemetnare della funzione consiste nel determinare i suoi eventuali punti d’intersezione con gli assi cartesiani e nello studiare il segno della funzione.

Le ascisse degli eventuali punti di intersezione con l’asse x si ottentono ponendo $y = 0$ nell’equazione che definisce la funzione, ossia risolvendo l’equazione $f(x) = 0$ ; essi si dicono zeri della funzione.

il punto di intersezione con l’asse y esiste a condizione che la funzione sia definita per $x = 0$ ; l’ordinata del punto di intersezione si calcola semplicemente ponendo $x = 0$ nell’equazione che definisce la funzione, ossia calcolando $f(0)$ .

Lo studio del segno consiste nello stabilire per quali valori di $x$ risulta $f(x)<0$ e per quali risulta $f(x) > 0$ . Si risolve perciò la disequazione $f(x) > 0$ che individua gli intervalli dove la funzione è positiva e dove è negativa.

→ Funzioni pari e dispari

💡

Sia data una funzione

y = f(x)

avente dominio

D

, tale che per ogni

x ∈ D

anche

-x ∈ D

. a. Se risulta

f(-x) = f(x)

per ogni

x ∈ D

la funzione si dice pari e il suo grafico è simmetrico rispetto all’asse

y

. b. Se invece

f(-x) = -f(x)

per ogni

x ∈ D

la funzione si dice dispari e il suo grafico è simmetrico rispetto all’origine.

→ Funzioni crescenti, decrescenti, non decrescenti, non crescenti

→ Funzioni strettamente crescenti e strettamente decrescenti

💡

Sia

I

un sottoinsieme del dominio della funzione

y = f(x)

. a. $f$  si dice strettamente crescente in

I

se:

x_1 < x_2 => f(x_1) < f(x_2)

, per ogni

x_1, x_2 ∈ I

f

si dice strettamente decrescente in

I

se:

x_1 < x_2 => f(x_1) > f(x_2)

, per ogni

x_1, x_2 ∈ I

→ Funzioni crescenti e decrescenti in senso lato

💡

Sia

I

un sottoinsieme del dominio della funzione

y = f(x)

. a. $f$  si dice crescente in senso lato in

I

se:

x_1 < x_2 => f(x_1) <= f(x_2)

, per ogni

x_1, x_2 ∈ I

f

si dice strettamente decrescente in

I

se:

x_1 < x_2 => f(x_1) >= f(x_2)

, per ogni

x_1, x_2 ∈ I

→ Funzione periodica

💡

Una funzione

f: D

→

R

si dice periodica se e solo se esiste un numero

T>0

tale che

f(x) = f(x+T)

per ogni

x ∈ D

Il minimo valore di T, se esiste, per cui è verificata questa proprietà si dice periodo (minimo) della funzione $f$ .

→ Funzione invertibile

💡

Si dice

f

una funzione invertibile solo se esiste una corrispondenza iunivoca tra il dominio della funzione e il suo insieme immagine.

In tal caso si chiama funzione inversa la funzione che associa a ciascun elemento dell’immagine di $f$ la sua (unica) controimmagine.

I limiti

→ Asintoto verticale

💡

Si dice che la retta di equazione

x = x_0

è un asintoto verticale (bilatero) per la funzione $y = f(x)$  se, al tendere di

x

x_0

, con

x ∈ R

, la funzione tende a

- \infin

o a

+\infin

o a

\infin

→ Asintoto orizzontale

💡

Si dice che la retta di equazione

y = l

è un asintoto orizzontale per la funzione $y = f(x)$  quando il limite della funzione per

x

che tende a

- \infin

o a

+\infin

o a

\infin

è uguale a

l

→ Limiti delle funzioni elementari

→ Teoremi sui limiti e relative forme indeterminate

Teorema del confronto
L’idea di base di questo teorema è che se il grafico di una funzione $f(x)$ è compreso tra quello di due funzioni $g(x) , h(x)$ in un intorno di $x_0$ e le due funzioni $g(x), h(x)$ hanno lo stesso limite per $x \to x_0$ , allora anche la funzione $f(x)$ ammette lo stesso limite per $x \to x_0$ .
💡
Siano $f(x), g(x), h(x)$ tre funzioni tali che esiste un intorno $V$ di $x_0 ∈ R^*$ per ogni $x$ del quale (eccetto al più $x_0$ ) tutte e tre le funzioni sono definite e risulta: $g(x)\le f(x) \le h(x)$ Se $\lim_{x\to x_o} g(x)$ = $\lim_{x\to x_o} h(x) = l$ con $l ∈ R$ , allora anche $\lim_{x\to x_o} f(x) = l$

Teorema del confronto 2
💡
Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni in un intorno di $x_0 ∈ R^*$ tali che, per ogni $x$ di questo intorno (eccetto al più $x_0$ ), risulta $f(x) \ge g(x).$ Se $\lim_{x\to x_0} g(x) = + \infty$ , allora anche $\lim_{x\to x_0} f(x) = + \infty$ .

Teorema del confronto 3
💡
Siano $f(x)$ e $g(x)$ due funzioni in un intorno di $x_0 ∈ R^*$ tali che, per ogni $x$ di questo intorno (eccetto al più $x_0$ ), risulta $f(x) \le g(x).$ Se $\lim_{x\to x_0} g(x) = - \infty$ , allora anche $\lim_{x\to x_0} f(x) = - \infty$ .

Teorema di esistenza del limite per le funzioni monòtone
💡
Sia $f(x)$ una funzione monòtona (in senso stretto o lato) in un intervallo $(a, b)$ ; allora esistono sempre, finiti o infiniti, i limiti di $f(x)$ per $x \to a^+$ e per $x \to b^-$ .

Teorema di unicità del limite
💡
Se una funzione $f(x)$ ammette limite per $x \to x_0$ con $x_0 ∈ R^*$ , questo limite è unico.

Teorema della permanenza del segno
💡
Se per $x \to x_0$ con $x_0 ∈ R^*$ , la funzione $f(x)$ ammette limite finito $l$ , positivo (negativo), allora esiste un intorno di $x_0$ per ogni $x$ del quale, eccetto al più $x_0$ , $f$ è positiva (negativa).

→ Forme indeterminate

💡

+ \infty - \infty

0 \cdot \infty

\frac{\infty}{\infty}

\frac{0}{0}

Ciò non significa che in questi casi il limite sia indeterminato o non si possa calcolare, ma solo che il risultato del limite può essere qualsiasi e non esiste nessun teorema che permetta di stabilirlo a priori: occorre analizzare la situazione caso per caso.

→ Risoluzione di alcune forme indeterminate

Limite per x che tende a infinito di un polinomio
Le funzioni polonomiali sono definite e continue in R, quindi si può incorrere in forme di indecisione solo nel calcolo di limiti per $x \to \pm \infty$ .
In questi casi ci si può imbattere in una forma di indecisione del tipo $+ \infty -\infty$ .
💡
Per calcolare il limite di un polinomio per $x \to \pm \infty$ basta calcolare il limite del suo termine di grado massimo.

Limite per x che tende a infinito del rapporto tra due polinomi
💡
Per calcolare il limite del rapporto di due polinomi per $x \to \pm \infty$ basta calcolare il limite del rapporto dei loro termini di grado massimo.

Continuità

→ Definizione di funzione continua in un punto

💡

Sia

f

una funzione definita in un intorno (completo) di

x_0

; se

\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)

, la funzione

f

si dice continua in

x_0

Se solo uno dei due limiti, da destra o da sinistra, di una funzione $f$ per $x \to x_0$ coincide con $f(x_0)$ , si parla di continuità da destra o da sinistra:

$f$ è continua da destra in $x_0$ se $\lim_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)$ ;

$f$ è continua da sinistra in $x_0$ se $\lim_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)$

→ Funzioni continue in un intervallo

Teorema di esistenza degli zeri
💡
Sia $f$ una funzione definita e continua in un intervallo chiuso e limitato [a, b]. Se $f(a) * f(b) <0$ , allora la funzione ammette almeno uno zero in (a, b), ossia esiste un punto $x_o \in (a, b)$ tale che $f(x_0) = 0$ .

Teorema di Weierstrass
💡
Sia $f$ una funzione continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b]; allora $f$ ammette massimo M e minimo m in [a,b], ossia esistono $x_1, x_2 \in [a,b]$ tali che: $f(x_1) \le f(x) \le f(x_2)$ $\forall x \in [a,b]$

Teorema dei valori intermedi
💡
Una funzione $f$ continua in un intervallo chiuso e limitato [a,b] assume tutti i valori compresi fra il suo minimo m e il suo massimo M in [a,b]. In altre parole, per ogni $k \in (m, M)$ esiste $x_0 \in [a,b]$ tale che $f(x_0) = k$ .

→ Punti singolari

Derivata

→ Definizione e suo significato geometrico

💡

Una funzione di equazione

y = f(x)

, definita in un intorno (completo) di

x_0

, si dice derivabile in

x_0

se :

$\lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$

esiste ed è finito. Questo limite prende il nome di derivata prima di $f$ in $x_0$ e si indica con il simbolo $f' (x_0)$ .

La derivata, geometricamente parlando, rappresenta il coefficente angolare della retta tangente al punto del grafico della funzione.

→ Derivate di funzioni elementari

→ Punti di non derivabilità

→ Il differenziale

Consideriamo una funzione derivabile $y = f(x)$ e supponiamo che la variabile indipendente $x$ subisca una piccola variazione $\Delta x$ .

💡

y = f(x)

è una funzione derivabile in

x

, la variazione

\Delta y

subita da

y

quando

x

subisce una piccola variazione

\Delta x

è approsimativamente uguale a

f'(x) \Delta x

; in simboli:

\Delta y \approx f'(x) \Delta x

In altre parole:

💡

y = f(x)

è una funzione derivabile in

x

, il differenziale della funzione

f

relativo al punto

x

e all’incremento

dx

, indicato con

dy

, è così definito:

dy = f'(x) dx

→ Punti stazionari, massimi e minimi relativi

Massimo relativo

💡

Si dice che

x_0

è un punto di massimo relativo (o locale) per una funzione

f

di dominio

D

se esiste un intorno di

I

x_0

tale che:

f(x) \le f(x_0)

per ogni

x \in I \cap D

Il valore

M

assunto dalla funzione in

x_0

, cioè

f(x_0)

, è detto massimo relativo della funzione.

Minimo relativo

💡

Si dice che

x_0

è un punto di minimo relativo (o locale) per una funzione

f

di dominio

D

se esiste un intorno di

I

x_0

tale che:

f(x) \ge f(x_0)

per ogni

x \in I \cap D

Il valore

m

assunto dalla funzione in

x_0

, cioè

f(x_0)

, è detto minimo relativo della funzione.

Massimo assoluto

💡

Si dice che

x_0

è un punto di massimo assoluto (o globale) per una funzione

f

di dominio

D

se risulta:

f(x) \le f(x_0)

per ogni

x \in D

Il valore

f(x_0)

, è detto massimo assoluto della funzione.

Minimo assoluto

💡

Si dice che

x_0

è un punto di minimo assoluto (o globale ) per una funzione

f

di dominio

D

se risulta:

f(x) \ge f(x_0)

per ogni

x \in D

Il valore

f(x_0)

è detto minimo assoluto della funzione.

→ Teorema di Fermat

💡

Sia

f

una funzione definita in un intervallo [a,b] e sia

c

un punto interno ad [a,b], in cui

f

è derivabile. Se

f

ha in

c

un punto di estremo relativo, allora

f'(c) = 0

Punto stazionario

💡

Se una funzione

f

è derivabile in

c

f'(c) = 0

, si dice che

c

è un punto stazionario della funzione

f

Il teorema di Fermat esprime una condizione necessaria ma non sufficiente perchè un punto c sia di estremo relativo.

→ Teorema di Rolle

💡

Sia

f

una funzione che soddisfa le seguenti ipotesi: a.

f

è derivabile nell’intervallo chiuso [a,b]; b.

f

è derivabile nell’intervallo aperto (a,b); c.

f(a) = f(b)

. Allora esiste almeno un punto

c \in (a,b)

per cui

f'(c) = 0

→ Teorema di Lagrange

💡

Sia

f

una funzione che soddisfa le seguenti condizioni: a.

f

è continua nell’intervallo chiuso [a,b]; b.

f

è derivabile nell’intervallo aperto (a,b); Allora esiste almeno un punto

c \in (a,b)

tale che

f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b-a}

→ Primo corollario

💡

Sia

f

una funzione derivabile in un intervallo I e tale che

f'(x) = 0

per ogni

x \in I

; allora

f

è costante in

I

→ Secondo corollario

💡

f

g

sono due funzioni derivabili in un intervallo

I

e tali che

f'(x) = g'(x)

per ogni

x \in I

, allora esse differiscono per una costante

c \in R

, cioè:

f(x) = g(x) +c

per ogni

x \in I

→ Funzioni crescenti e decrescenti

Criterio di monotonia per le funzioni derivabili

💡

Sia

f

una funzione derivabile in un intervallo

I

: a. se

f'(x) > 0

per ogni

x \in I

, allora

f

è strettamente crescente in

I

. b. se

f'(x) < 0

per ogni

x \in I

, allora

f

è strettamente decrescente in

I

Criterio per l’analisi dei punti stazionari mediante la derivata prima

💡

Sia

f

una funzione continua in un intorno di

I

x_0

, e derivabile in

I

tranne al più in

x_0

: a. se esistono un intorno sinistro di

x_0

in cui

f' > 0

e un intorno destro in cui

f'<0

, allora

x_0

è un punto di massimo relativo per

f;

b. se esistono un intorno sinistro di

x_0

in cui

f' < 0

e un intorno destro in cui

f'>0

, allora

x_0

è un punto di minimo relativo per

f

→ Funzioni concave, convesse, punti di flesso

Funzione convessa

💡

Una funzione

f

si dice convessa (o con la concavità verso l’alto) in un intervallo

I

se per ogni coppia di punti

x_1, x_2 \in I

la corda che congiunge i punti di coordinate

(x_1, f(x_1))

(x_2, f(x_2))

è al di sopra del grafico di

f

Funzione concava

💡

Una funzione

f

si dice concava (o con la concavità verso il basso) in un intervallo

I

se per ogni coppia di punti

x_1, x_2 \in I

la corda che congiunge i punti di coordinate

(x_1, f(x_1))

(x_2, f(x_2))

è al di sotto del grafico di

f

Sia una funzione derivabile due volte in un intervallo $I$ . a. Se $f''(x) >0$ per ogni $x \in I$ , allora $f$ è convessa in $I$ . b. Se $f''(x) < 0$ per ogni $x \in I$ , allora $f$ è concava in $I$ .

Punti di flesso

💡

Data una funzione

f

, sia

x_0

un punto in cui

f

è derivabile o al più

f

presenta tangente verticale. Il punto

x_0

si dice flesso se esiste un intorno destro di

x_0

in cui

f

è convessa (concava) e un intorno sinistro di

x_0

in cui

f

è concava (convessa).

Condizione necessaria per un punto di flesso

💡

Sia

f

una funzione definita in un intervallo

I

e sia

x_0

un punto interno a

I

in cui

f

è derivabile due volte. Se

x_0

è un punto di flesso, allora

f''(x) = 0

Questa è necessaria ma non sufficiente a garantire che $x_0$ sia un punto di flesso.

Questa affermazione non è invertibile.

→ Teorema di de l’Hopital

Esiste qualche legame tra il limite per $x \to x_0$ del rapporto $\frac{f(x)}{g(x)}$ tra due funzioni $f$ e

$g$ e il limite per $x \to x_0$ del rapporto delle loro derivate, ossia $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ ?

La risposta è affermativa ed è espressa nel seguente teorema

💡

Siano

f

g

due funzioni derivabili in un intorno

I

x_0 \in R

, eccetto al più

x_0

, e siano verificate le seguenti ipotesi: a. $\lim_{x \to x_0} f(x) = \lim_{x \to x_0} g(x) = 0$  oppure $\lim_{x \to x_0} f(x) = \pm \infty$  e $\lim_{x \to x_0} g(x) = \pm \infty$ . b. $g'(x) \ne 0$  per ogni

x \in I

, con

x \ne x_0

c. esiste

\lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Allora esiste anche

\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)}

e si ha:

\lim_{x \to x_0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to x_0} \frac{f'(x)}{g'(x)}

Integrali

→ Primitiva

💡

Una funione

F

si dice primitiva di una funzione

f

in un intervallo

I

se è derivabile in

I

e per ogni

x \in I

la sua derivata in

x

è uguale a

f(x)

, cioè se:

F'(x) = f(x)

per ogni

x \in I

Se $F$ è una primitiva della funzione $f$ in un intervallo $I$ , allora l’insieme di tutte e sole le primitive di $f$ in $I$ è costituito dalle funzioni:

$G(x) = F(x) +c$ al variare di $c$ nell’insieme dei numeri reali

→ Integrale indefinito

💡

L’insieme di tutte le primitive di una funzione

f

si dice integrale indefinito della funzione

f

e si indica con il simbolo:

\int f(x) dx

che si legge “integrale indefinito di

f(x)

dx

”.

→ Integrali immediati

→ Linearità dell’integrale indefinito

L’integrale della somma di due funzioni è la somma degli integrali delle due funzioni, e l’integrale del prodotto di una funzione per una costante è il prodotto della costante per l’integrale della funzione:

💡

a. $\int[f(x) + g(x)] dx = \int f(x) dx+ \int g(x) dx$  b. $\int k \cdot f(x) dx = k\cdot \int f(x) dx$  per ogni

k \in R

→ Integrazione per scomposizione

Esso consiste nel cercare di scrivere la funzione da integrare, se possibile, sotto forma di combinazione lineare delle funzioni elementari di cui sopra riportata la tabella.

L’integrale può così essere calcolato sfruttando le proprieta di linearità.

In poche parole si cerca di riscrivere la funzione da integrare come la somma di più funzioni elementari per rendere il calcolo più semplice.

→ Integrazione di funzioni composte

In pratica, le regole di integrazione delle funzioni elementari possono essere generalizzate al caso in cui l’argomento della funzione integranda non è $x$ ma $f(x)$ , a patto che la funzione integranda sia moltiplicata per $f'(x)$ .

→ Integrazione per sostituzione

Si basa sulla seguente formula:

$\int f(x) dx = \int f(g(t))g'(t) dt$ con $x = g(t)$

Per calcolare $\int f(x) dx$ mediante il metodo di sostituzione si procede come segue:

💡

1. si pone

x = g(t)

e si calcola

dx = g'(t)

; 2. si riscrive l’integrale in termini di

t

, sostituendo

g(t)

al posto di

x

g'(t) dt

al posto di

dx

, e si calcola l’integrale nella variabile

t

così ottenuto; 3. si ritorna infine alla variabile

x

, eseguendo sul risultato la sostituzione inversa.

→ Integrazione per parti

In base alla regola di derivazione del prodotto di due funzioni, si ha:

$D[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$

In termini di integrali indefiniti otteniamo:

$\int [f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)] dx = f(x) \cdot g(x)$

Ovvero:

$\int f'(x) \cdot g(x)dx + \int f(x) \cdot g'(x) dx = f(x) \cdot g(x)$

Da cui ricaviamo:

$\int f(x) \cdot g'(x) dx= f(x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x)dx$

L’integrale definito

💡

PROBLEMA Consideriamo una funzione

y = f(x)

, continua e positiva (o nulla) nell’intervallo [a,b]. Come possiamo definire il concetto di area per la regione di piano, detta trapezoide, limitata dal grafico della funzione, dall’asse x e dalle rette di equazioni

x = a

x = b

Definiamo degli opportuni rettangoli, sommando l’area dei quali riusciremo ad approssimare ciò che intuitivamente riteniamo essere l’area del trapezoide.

→ Il concetto di integrale definito (somma di Riemann)

💡

Sia

f: [a,b] \to R

. Consideriamo i punti:

a = x_0, x_1, x_2, ... , x_{n-1}, x_n = b

che suddividano l’intervallo [a,b] in n intervalli aventi la stessa ampiezza, uguale a:

\Delta x = \frac{b-a}{n}

Scelto in ciascuno degli n intervalli

[x_{i-1}, x_i]

un punto arbitrario

c_i

, chiamiamo somma di Riemann della funzione

f

nell’intervallo [a,b] la somma:

S_n = \displaystyle\sum_{i = 1}^n f(c_i) \Delta x

Se è una funzione continua, si potrebbe dimostrare che $\lim_{n \to + \infty} S_n$ esiste finito ed è indipendente dalla scelta dei punti $c_i$ .

Ha senso perciò dare questa definizione:

→ Integrale definito

💡

Sia

f: [a,b] \to R

una funzione continua. Si chiama integrale definito della funzione

f

nell’intervallo [a,b] il

\lim_{n \to + \infty} S_n

, essendo

S_n

una somma di Riemann della funzione

f

nell’intervallo [a,b]. L’integrale definito viene indicato con il simbolo:

\int_{a}^b f(x) dx

E si legge “integrale da a a b di

f(x)

dx

”.

→ Proprietà dell’integrale definito

L’integrale definito, così come l’integrale indefinito, gode delle proprietà di linearità (somma e moltiplicazione).

Additività rispetto all’intervallo di integrazione:
💡
Per ogni $a,b,c \in R$ risulta: $\int_{a}^b f(x) dx = \int_{a}^c f(x) dx + \int_{c}^bf(x) dx$

Monotonia rispetto alla funzione integranda
💡
Se $f$ e $g$ sono due funzioni continue nell’intervallo [a,b] e $f(x) \le g(x)$ per ogni $x \in [a,b]$ , allora: $\int_{a}^b f(x) dx \le \int_{a}^b g(x) dx$

Valore medio di una funzione
💡
Data una funzione $f$ , continua nell’intervallo [a,b], definiamo valore medio della funzione $f$ nell’intervallo [a,b] il numero: $\frac{1}{b-a} \int_{a}^b f(x) dx$
Perciò se $f$ è continua in [a,b] esiste un numero $c \in [a,b]$ tale che $f(c)$ è uguale al valore medio della funzione in [a,b], ossia tale che: $f(c) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^b f(x) dx$

→ La funzione integrale

Supponiamo che $f$ sia una funzione continua in un intervallo [a,b]; per ogni $x \in [a,b]$ la funzione $f$ è continua nell’intervallo [a,x], quindi possiamo definire l’integrale di $f$ su [a,x]:

$\int_{a}^x f(t) dt$

Questo integrale, una volta fissato a, dipende univocamente dalla variabile x, pertanto è possibile definire una nuova funzione, detta funzione integrale, che associa a ogni $x \in [a,b]$ il valore dell’integrale.

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Sia

f

una funzione continua su [a,b]; si chiama funzione integrale di

f

la funzione

F:[a,b] \to R

definita da:

F(x) = \int_{a}^x f(t) dt

→ Teorema fondamentale del calcolo integrale

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Sia

f

una funzione continua su [a,b] ed

F:[a,b] \to R

la funzione integrale associata a

f

(relativa al punto a), definita da:

F(x) = \int_{a}^x f(t) dt

Allora la funzione

F

è derivabile (quindi anche continua) in [a,b], e risulta:

F'(x) = f(x)

per ogni

x \in [a,b]

→ Calcolo dell’integrale definito

Il calcolo di un integrale definito avviene di solito sulla base del seguente teorema, che recupera la nozione di primitiva di una funzione:

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Sia

f(x)

una funzione continua in [a,b], e sia

F(x)

una sua qualsiasi primitiva in [a,b], allora:

\int_{a}^b f(x) dx = F(b) - F(a)

→ Applicazioni geometriche dell’integrale definito: aree

Abbiamo visto che $\int_{a}^b f(x) dx$ rappresenta l’area con segno della regione di piano (trapezoide) limitata dal grafico della funzione $y = f(x)$ .

Ci poniamo ora il problema di determinare l’area della regione piana limitata dai grafici di due funzioni $y = f(x), y = g(x)$ nell’intervallo [a,b].

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Siano

f

g

due funzioni continue in [a,b], tali che

f(x) \ge g(x)

per ogni

x \in [a,b]

. Allora l’area della regione di piano limitata dai grafici di

f

g

nell’intervallo [a,b] è data da:

\int_{a}^b [f(x) - g(x)] dx

In altre parole basterà eseguire la differenza degli integrali tra la funzione che “sta sopra” e la funzione che “sta sotto” in un determinato intervallo [a,b].